Ingeniería Informática - Matemáticas

Grado y Doble Grado. Curso 2019/2020.

GEOMETRÍA DIFERENCIAL DE CURVAS Y SUPERFICIES - 900230

Curso Académico 2019-20

Datos Generales

SINOPSIS

COMPETENCIAS

Generales
- Estrategias para la resolución de problemas.
- Aprender a respetar las reglas del rigor matemático tanto en el estudio de los aspectos teóricos, como en la formalización de las respuestas a ejercicios y problemas planteados.
- Desarrollar la capacidad de autocrítica, reconociendo aquellos aspectos que necesitan mayor nivel de comprensión para avanzar en el propio proceso de aprendizaje.

Específicas
- Apreciar la diferencia entre curva parametrizada, y curva.
- Destreza en el cálculo de curvaturas.
- Entender por qué las curvaturas determinan un sistema completo de invariantes para la clasificación de curvas por congruencia.
- Comprender el concepto de superficie y relacionar las distintas definiciones equivalentes.
- Apreciar la diferencia entre superficie parametrizada y superficie.
- Saber usar coordenadas locales para resolver problemas geométricos.
- Distinguir entre lo que depende y lo que no depende del sistema de coordenadas utilizado.
- Distinguir entre geometría local y global.
- Distinguir las propiedades intrínsecas de las que no lo son, y apreciar el significado del teorema egregio de Gauss.
- Destreza en el cálculo de formas fundamentales, curvaturas etc.

ACTIVIDADES DOCENTES

Clases teóricas
Tres sesiones académicas teóricas semanales
Clases prácticas
A medida que se vaya desarrollando el temario, se entregarán listas de problemas. Habrá dos sesiones académicas semanales de problemas, una de ellas se dedicará a la resolución de algunos de los problemas planteados, la otra tendrá carácter de seminario y en ella los alumnos, además de poder plantear cuantas dudas deseen, podrán salir a resolver los problemas

Presenciales

3

No presenciales

2,5

Semestre

6

Breve descriptor:

Se inicia al estudiante en la geometría diferencial de curvas y superficies en el espacio euclideo tridimensional.


Requisitos

- Análisis real en varias variables
- Geometría y álgebra lineal.
- Topología general

Objetivos




-          Resolver el problema de clasificación geométrica de curvas por movimientos, usando el método de la referencia móvil de Frenet.
-          Estudio geométrico local de las superficies en espacio euclideo tridimensional.
-          Destacar el concepto de propiedad geométrica intrínseca.

Contenido

1.    Teoría local de curvas en el plano y el espacio euclídeo. Curvas planas. Definiciones básicas. Curvas regulares. Cambio de parámetro. Parametrización por longitud de arco. Diedro de Frenet: Curvatura. Curvas congruentes. Teorema fundamental de congruencia. Centro de curvatura. Curvas en el espacio. Triedro de Frenet. Fórmulas de Frenet: Curvatura y Torsión. Teorema fundamental de congruencia.
2.     Teoría local de superficies. Superficies regulares. Representación local paramétrica e implícita. Cambios de coordenadas. El plano tangente en un punto. Primera forma fundamental. Funciones diferenciables entre superficies. Diferencial de una función. Curvatura normal: Teorema de Meusnier. Segunda forma fundamental. Aplicación de Gauss-Weingarten. Curvaturas y direcciones principales. Líneas de curvatura. Curvatura de Gauss. Indicatriz de Dupin. Direcciones asintóticas. Lineas asintóticas. Curvatura geodésica. Definición extrínseca de geodésica.
3.    Geometría intrínseca local de superficies. Isometrías. Superficies homeomorfas, difeomorfas, isométricas y congruentes. Carácter intrínseco. Símbolos de Christoffel.  Carácter intrínseco. Teorema Egregium de Gauss. Transporte paralelo. Carácter intrínseco de la curvatura geodésica.
4.    Teorema de Gauss para triángulos geodésicos pequeños. Enunciado del Teorema de Gauss-Bonnet.


  


Evaluación

Habrá un examen final obligatorio y evaluación continua voluntaria, que se realizará mediante alguno de los procedimientos siguientes: Resolución de problemas, exposiciones, participación activa en las clases o pruebas de control, según criterio del profesor.
La calificación de la evaluación continua constituirá, al menos, el 20% de la nota final para aquellos alumnos que deseen someterse a la misma.

Bibliografía

Manfredo P. Do Carmo. Geometría Diferencial de Curvas y Superficies. Alianza Universidad Textos (1990).



J.M. Rodriguez Sanjurjo, J.M. Ruiz Sancho. Introducción a la Geometría diferencial I. Curvas Ed. Sanz y Torres (2012)



A. F. Costa, J. M. Gamboa, Ejercicios de Geometría diferencial de curvas y superficies. Ed. Sanz y Torres (1998).



Ángel Miguel Amores. Curso Básico de Curvas y Superficies. Ed. Sanz y Torres (2001)



Enrique Outerelo y José M. Sánchez Abril. Geometría Diferencial Elemental de Curvas y Superficies. Ed. Sanz y Torres (2009)



Javier Lafuente. 45 sesiones de Geometría diferencial de curvas y superficies. Publicación interna del Departamento de Geometría y Topología. (2014) 
http://www.mat.ucm.es/~jlafuent/own/Manuales/Variedades/cyslc.pdf.



Eduardo Aguirre. Geometría Diferencial de Curvas y Superficies. Publicación interna del Departamento de Geomtería y Topología. http://www.mat.ucm.es/~edaguirr/



Antonio Valdés. Notas de Geometría Diferencial con Aplicaciones. Publicación interna del Departamento de Geometría Y Topología. www.mat.ucm.es/~avaldes/notas.pdf

Otra información relevante

Los alumnos dispondrán de material docente en el Campus Virtual.

Estructura

MódulosMaterias
No existen datos de módulos o materias para esta asignatura.

Grupos

Clases teóricas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo único27/01/2020 - 14/05/2020MARTES 10:00 - 11:00B12JOSE MANUEL RODRIGUEZ SANJURJO
JUEVES 10:00 - 11:00B12JOSE MANUEL RODRIGUEZ SANJURJO
VIERNES 10:00 - 11:00B12JOSE MANUEL RODRIGUEZ SANJURJO


Clases prácticas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo único27/01/2020 - 14/05/2020JUEVES 09:00 - 10:00B12
VIERNES 09:00 - 10:00B12