Ingeniería Informática - Matemáticas

Grado y Doble Grado. Curso 2019/2020.

ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS - 900215

Curso Académico 2019-20

Datos Generales

SINOPSIS

COMPETENCIAS

Generales
Comprender la importancia capital de las ecuaciones diferenciales en el ámbito de la Ciencia y la Técnica e identificar todas aquellas que son resolubles con los métodos de integración existentes. Desde el desarrollo del cálculo diferencial por Newton y Leibnitz las ecuaciones diferenciales se han ganado el prestigio de ser la herramienta matemática más potente para la resolución de todo tipo de problemas en ciencias aplicadas e ingeniería, desde la confirmación matemática de las leyes de Kepler, hasta el desarrollo del electromagnetismo, la predicción de la curvatura de la luz sometida a campos gravitatorios por Einstein, la demostración de la existencia de agujeros negros por Hawking y Penrose, o la evaluación de activos financieros a partir de la teoría de Black, Scholes y Merton, quienes por su desarrollo fueron laureados con el Nobel de Economía.
Transversales
En lo posible, dependiendo del curso y titulación en que se imparta la asignatura, se tratarán de facilitar las siguientes competencias transversales:

1. Introducción al Análisis Funcional estudiando el espacio de las funciones vectoriales continuas en un intervalo compacto y el teorema de la aplicación contractiva de Banach con el objetivo expreso de obtener el teorema de existencia y unicidad de solución para el problema de valores iniciales asociado a un sistema general de primer orden con coeficientes continuous e inferir, a partir de él, las dimensiones y propiedades fundamentales de su conjunto de soluciones, así como sus ecuaciones paramétricas.

2. Manejo de la forma canónica de Jordan con objeto de calcular fluidamente exponenciales de matrices para construir sistemas de referencia afín que permitan parametrizar los conjuntos de soluciones de los sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes.


Específicas
1. Demostrar la existencia y unicidad de solución para problemas de valores iniciales relativos a las ecuaciones y sistemas lineales de primer orden y derivar a partir de ella todas las propiedades de estructura de sus conjuntos de soluciones.

2. Construir fluidamente soluciones generales para ecuaciones y sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes.

3. Resolver ecuaciones lineales con coeficientes analíticos por el método de desarrollo en serie de potencias.

4. Manejar fluidamente las técnicas fundamentales de integración elemental de las ecuaciones escalares no lineales de primer orden.




Otras
Identificar en cada titulación particular algunas de las ecuaciones diferenciales más importantes cuyo tratamiento matemático ha sido más fructífero desde el punto de vista de sus aplicaciones. Por ejemplo, mientras que la ecuación logística es una pieza clave en dinámica de poblaciones, la ecuación de Bessel es de importancia capital en Física, así como la del oscilador armónico unidimensional, que es la ecuación de tipo Schrödinger más simple existente.

ACTIVIDADES DOCENTES

Clases teóricas
Sesiones académicas teóricas.
Seminarios
Los Seminarios programados se dedicarán a completar las clases teóricas y prácticas, con cuestiones teórico-prácticas sometidas a debate y ejercicios expuestos por los estudiantes, a la resolución de dudas, tanto teóricas como prácticas, o podrán ser dedicados a controles.
Clases prácticas
Sesiones académicas de problemas.
Exposiciones
Se podrá solicitar a los estudiantes que expongan resultados o problemas.
Presentaciones
Se podrán encargar presentaciones a los estudiantes.

Presenciales

2,6

No presenciales

3,4

Semestre

5

Breve descriptor:

Iniciar al alumnado en las ecuaciones diferenciales ordinarias y sus aplicaciones. Estudiar ecuaciones y sistemas lineales. Construir sistemas fundamentales de soluciones en el caso de coeficientes constantes. Estudiar y resolver ecuaciones no lineales escalares de forma exacta.

Requisitos

Aunque no sea imprescindible, es conveniente haber cursado las asignaturas de Análisis de variable real, Cálculo diferencial y Álgebra Lineal.

Objetivos

1. Estudiar las propiedades generales de las ecuaciones y sistemas lineales.  2. Construir con soltura sistemas fundamentales de soluciones para los sistemas y ecuaciones lineales con coeficientes constantes. 3. Adquirir destreza en el uso de las técnicas elementales de resolución explícita de las ecuaciones escalares no lineales de primer orden.  4. Identificar y resolver problemas matemáticos multidisciplinares con técnicas de ecuaciones diferenciales.

Contenido

PARTE I: ECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES. 
1. La ecuacion lineal. Ecuaciones y sistemas lineales de primer orden. Estructura del conjunto de soluciones. Teorema de existencia y unicidad de solución para los problemas de valores iniciales asociados. Existencia de matrices fundamentales de soluciones de ecuaciones y sistemas homogéneos. Propiedades fundamentales. Método de variación de las constantes. Soluciones generales.  

2. Construcción de sistemas fundamentales de soluciones y resolución de ecuaciones lineales de orden superior con coeficientes constantes. Exponencial de una matriz. Construcción de sistemas fundamentales de soluciones para sistemas de primer orden con coeficientes constantes. Fórmula de variación de las constantes. Solución general. Comportamiento cualitativo de las soluciones.

3. Construcción de sistemas fundamentales de soluciones por desarrollo en serie de potencias para ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes analíticos. Las ecuaciones de Bessel y de Hermite.
PARTE II: INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA NO LINEAL.
4. Métodos elementales de resolución de ecuaciones diferenciales escalares de primer orden: (a) ecuaciones de Bernouilli y Riccatti, (b) la ecuación logística, (c)  teorema de existencia y unicidad para los problemas de valor incial relativos a las ecuaciones en variables separadas, (d) ecuaciones homogéneas y reducibles a homogéneas, (e) construcción de haces integrales y diagramas de fases para los sistemas planos  de primer orden con coeficientes constantes, (f) ecuaciones diferenciales exactas. Fenómenos de no unicidad y explosión en tiempo finito.

 

Evaluación

En la convocatoria ordinaria, la calificación del examen final constituirá entre un 50% y un 80% de la nota final. El porcentaje restante se obtendrá a partir de la realización de controles intermedios, así como por la asistencia continuada a clase y la resolución y exposición en la pizarra de los ejercicios y tareas propuestos por el profesorado. En la convocatoria extraordinaria la calificación obtenida en el examen contabilizará el 100% de la nota.

Bibliografía

M. Braun, Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Grupo Editorial Iberoamericano (1990).
W.E. Boyce y R.C. DiPrima, Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Limusa Wiley (2010).
J. López-Gómez, Elementos de Ecuaciones Diferenciales y Variable Compleja, Pearson Educación, Madrid 2001.
J. López-Gómez, Elementos de Ecuaciones Diferenciales y Variable Compleja, Problemas y Ejercicios resueltos, Prentice Práctica, Madrid 2002.
C. Fernández Pérez, F. Vázquez Hernández, y J.M. Vegas Montaner, Ecuaciones diferenciales y en diferencias. Thomson, 2003
A. Kiseliov, M. Krasnov y G. Makarenko, Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, Mir (1988).
F. Simmons, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas. Mc Graw-Hill (1977).
D.G. Zill, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Cengage Learning (2009).

Otra información relevante

Se facilitarán hojas de problemas y diversos materiales teórico-prácticos para preparar y aprovechar al máximo la asignatura.

Estructura

MódulosMaterias
No existen datos de módulos o materias para esta asignatura.

Grupos

Clases teóricas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo único27/01/2020 - 14/05/2020LUNES 09:00 - 10:00S-107BJULIAN LOPEZ GOMEZ
MARTES 09:00 - 10:00S-107BJULIAN LOPEZ GOMEZ
JUEVES 09:00 - 10:00S-107BJULIAN LOPEZ GOMEZ


Clases prácticas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo único27/01/2020 - 14/05/2020MIÉRCOLES 09:00 - 10:00S-107BJULIAN LOPEZ GOMEZ